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Análisis Matemático 66
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
11.
Calcule los siguientes límites
a) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x \pi)}{\operatorname{sen}(3 x \pi)}$
a) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(x \pi)}{\operatorname{sen}(3 x \pi)}$
Respuesta
Los límites de este ejercicio me da mucho dolor resolverlos sin L'Hopital. Este límite, una vez que sabés derivar y aprendiste L'Hopital, ves A OJO que da $\frac{1}{3}$. Es un regalo. Ahora, resolverlo sin L'Hopital es un flor de quilombo... lo voy a resolver sólo para que quede acá, pero como te dije en varios problemas, seguís acá bajo tu propio riesgo.
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Primero, es una indeterminación de tipo "cero sobre cero" y algo que tenemos que hacer para salvarla.
La mayor dificultad con este límite es que lo de adentro del seno no tiende a cero, y no podemos usar el límite especial. Tenemos que introducir algún cambio de variable. Podemos hacer un cambio de variable con \( y = x-1 \), entonces cuando \( x \rightarrow 1 \), tenemos \( y \rightarrow 0 \). Reemplazamos \( x \) por \( y+1 \) en la expresión original:
$ \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin((y+1) \pi)}{\sin(3(y+1) \pi)} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin(y\pi + \pi)}{\sin(3y\pi + 3\pi)} $
Ahora usamos la identidad trigonométrica para el seno de la suma, que dice que:
$\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(a)$
(a ojo sale con L'Hopital, repito)
Entonces, nos queda:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin(y\pi + \pi)}{\sin(3y\pi + 3\pi)} = \frac{\sin(y\pi)\cos(\pi) + \cos(y\pi) \sin(\pi)}{\sin(3y\pi)\cos(3\pi) + \cos(3y\pi) \sin(3\pi)} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{-\sin(y\pi)}{-\sin(3y\pi)} = \lim _{y \rightarrow 0} \frac{\sin(y\pi)}{\sin(3y\pi)} $
Ahora si lo de adentro del seno tiende a $0$ y vamos a poder reescribir la expresión para usar el límite especial:
$\lim _{y \rightarrow 0} \frac{\frac{y\pi}{y\pi} \sin(y\pi)} { \frac{3y\pi}{3y\pi} \sin(3y\pi)} = \frac{ y\pi }{ 3y\pi} = \frac{1}{3}$
Por lo tanto, el límite da $\frac{1}{3}$, como ya te había anticipado. Este límite no es difícil, es un regalo si te aparece en el parcial. Lo difícil fue resolverlo sin poder usar L'Hopital.
ExaComunidad
Fernando
29 de abril 3:25
Hola flor,todo bien ? ,una consulta una vez transformado con el cambio de variable y que y tienda a 0 podemos realizar la multiplicacion para formar los "limites especiales" ? ,porque realizar la identidad trigonometrica lo veo mucho trabajoso o tengo que seguir ese paso si o si ? ,ahi en la imagen lo encerre si puedo formar en el numerador el limite especial y despues en el denominador ?
1 respuesta
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